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连续、间断、发散、收敛、微分、积分等概念都是通过极限定义,能深刻、

简介: 连续、间断、发散、收敛、微分、积分等概念都是通过极限定义,能深刻、透彻的理解极限,是学好微积分的关键。

无论是非数学专业理工科的高等数学,还是数学专业的数学分析,微积分都是其最基础、最重要的内容。

而微积分思想的理解、工具的使用,只需要理解好一个核心的概念“极限”!

充满“极限”的微积分微积分中处处充满着辩证地:常量与变量、收敛与发散、有限与无限、近似与精确、连续与间断、离散与连续、微分与积分等,而所有的这些概念无不与“极限”相关。

首先从离散的数列开始入手,定义数列极限,是收敛还是发散,收敛数列的性质,收敛准则等等;再讨论函数的极限,从定义入手,迁移了数列极限的思路,讨论了函数极限的性质等,数列与函数通过海涅原则得到连接;相关的性质定理等知识点可以类比数列学习,毕竟数列是离散量(数列可以理解成自变量是自然数的函数),函数主要是连续量;由于连续函数的定义域是实数集,而数列可看成是定义在正整数集上的函数,由此差别,函数引入了通过极限来定义的连续和一致连续,然后给出了连续函数的有界、零点或介值、最值的性质定理;为进一步研究函数的性质,继续通过极限定义了函数的导数和微分,并引入了求导法则和微分中值定理,用于讨论函数的单调性、极值或最值、凸性等问题,还讨论了函数可导与连续的关系;依然是辩证法的使用,考虑函数微分的逆运算,引入了不定积分,介绍了不定积分的计算方法和几类可积函数;最后通过极限定义了定积分,然后介绍可积条件、性质,包括定积分中值定理和计算方法等内容,注意定积分采用的定义是黎曼可积,还有一种稍有区别,但适用范围更广的勒贝格积分定义,如此时具有可数间断点的函数可积;结合积分区间的无限性或函数的性,又引入了无穷积分和瑕积分;上面介绍的各种连续、一致连续、微分和积分,全部是考虑的一元函数,将一元函数迁移到多元函数,得到偏微分、重积分、含参变量的积分、多重积分等等内容,依然是通过极限去定义和理解的;级数作为一个相对独立的内容,先从数列级数入手,然后迁移到函数项级数、幂级数,讨论了收敛判别准则等内容,全部与极限紧密相关。

至此,一个总结:微积分是其他数学分支的重要基础内容或科目,而极限是微积分的重要和核心的思想或概念。

连续、间断、发散、收敛、微分、积分等概念都是通过极限定义,能深刻、透彻的理解极限,是学好微积分的关键。

而证明极限的方法就是最基本的基本功,要尤其熟练掌握,有些极限的问题可以通过极限的性质、运算规则,以及常用的重要极限来解决极限证明或求解。

除此之外理解和掌握极限定义,依次证明极限问题是最基础的能力。


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